Probabilidad

La probabilidad es un método mediante el cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.

Teoría de probabilidades 

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.

Tipos de Experimentos

Experimentos deterministas
Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.
Ejemplo 

Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la pelota bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.

Experimentos aleatorios
Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.
Ejemplos
Si lanzamos una moneda no sabemos de ante mano si saldrá cara o cruz.
Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.

Experimentos compuestos 

Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples. Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto. En los experimentos compuestos es conveniente usar el llamado diagrama en árbol para hacerse una idea global de todos ellos. 

Suceso y Espacio Muestral

Suceso 

Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. 

Al lanzar una moneda, que salga cara es un suceso 

Al lanzar un dado, que se obtenga 4 es un suceso. 

Espacio muestral 

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia 

aleatoria, lo representaremos por E 

Espacio muestral de una moneda: 

E = {C, X}. 

Espacio muestral de un dado: 

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 

Tipos de Sucesos

Suceso aleatorio 

Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral. 

Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener 

múltiplo de 3, y otro, sacar 5. 

Ejemplo 

Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular: 

1. El espacio muestral. 

E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)} 

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}. 

B = {(b,b,b); (n, n,n)} 

3. El suceso A = {extraer al menos una bola blanca}. 

B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)} 

4. El suceso A = {extraer una sola bola negra}

 A = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)} 

Sucesos independientes 

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B. 

Al lazar dos dados los resultados son independientes. 

Sucesos dependientes 

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que 

suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B. 

Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos 

dependientes. 

Unión y Intersección de sucesos 

Unión de sucesos 

La unión de sucesos, A U B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B. 

Es decir, el suceso A U B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, 

o ambos. 

A UB se lee como "A o B". 

Ejemplo 

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A U B. 

A = {2, 4, 6} 

B = {3, 6} 

A U B = {2, 3, 4, 6} 

 

Intersección de sucesos 

La intersección de sucesos, A ∩ B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B. 

Es decir, el suceso A ∩ B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y 

B. 

A ∩ B se lee como "A y B". 

Ejemplo 

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A ∩ B. 

A = {2, 4, 6} 

B = {3, 6} 

A ∩ B = {3} 

Regla de Laplace 

Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es: 

 

Ejemplos 

Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos 

caras. 

Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}. 

Casos favorables: 1. 

 

P(2 caras)=1/4

Probabilidad de la unión de sucesos 

Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles 

A ∩ B = Ø

p(A U B) = p(A) + p(B) 

Calcular la probabilidad de obtener un 2 ó un 5 al lanzar un dado.

P(2U5)=1/6 + 1/6= 2/6= 1/3

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles 

A ∩ B ≠ Ø

p(A U B) = p(A) + p(B) − p(A∩ B) 

Calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 ó un 6 al lanzar un 

dado. 

P(2U6)= 3/6 + 1/6 - 1/6= 3/6 = 1/2

Diagramas de árbol 

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento ( nudo final). 

Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.