miércoles, 2 de abril de 2014
Regla del Producto
En análisis matemático, la regla del producto o regla de Leibniz para la derivación de un producto, gobierna la derivación del producto de funciones derivables.
Puede declararse informalmente como "la derivada de la primera por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda" o matemáticamente:
O usando la notación de Leibniz:
.
"Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de la ecuación por el mismo número distinto de cero, obtenemos una ecuación equivalente"
Por ejemplo, dada la ecuación:
3x=21
Aplicando la regla del producto, dividimos por 3 los dos miembros de la igualdad:
x=7
En general si tenéis la ecuación:
nº1·x=nº2
Dividimos por nº1 y obtenemos la solución:
x=nº2/nº1
Ahora bien, siempre aplicad primero la regla de la suma y después la regla del producto, por ejemplo, dada la ecuación:
4x-2=18
Primero aplicamos la regla de la suma, sumando 2:
4x=20
Y después la regla del producto,dividiendo por 4:
x=5
Vamos a ver el orden que tenemos que seguir para resolver una ecuación en general.
Quitar denominadores
- Si aparecen denominadores en mi ecuación, lo primero es calcular el m.c.m. de los denominadores y reducir todo a este común denominador, como si trabajáramos con fracciones.Después aplicamos la regla del producto multiplicando los dos miembros por este común denominador, de esta forma "desaparecen" pues al simplificar solo nos quedan los numeradores.
Quitar paréntesis
- Si en mi ecuación aparecen paréntesis, los "quitamos" aplicando la propiedad distributiva.
Asociar términos semejantes
- Operar todo lo que podáis en cada uno de los miembros, las "x" con las "x", y los números con los números.Ya sabéis que no podéis sumar letras con números.
"Pasar" las "x" a un solo miembro de la ecuación
- Aplicar la regla de la suma para quitar todas las x de un miembro y dejarlas en el otro miembro de la ecuación.
Despejar la incógnita
Seguro que lo entendéis mejor con un ejemplo.
- Aplicar primero la regla de la suma, de manera que todos los números queden a un lado de la ecuación.
- Aplicar después la regla del producto para llegar a la solución.
Seguro que lo entendéis mejor con un ejemplo.
Primero:Quitamos denominadores: el m.cm. es 6, reducimos a común denominador:
Aplicamos la regla del producto multiplicando todo por 6, y al simplificar nos quedan los numeradores:
10x+19=21(x-3)+60
Segundo:quitamos paréntesis,aplicando la propiedad distributiva:
10x+19=21x-63+60
Tercero: asociamos, en este caso solo podemos sumar los números del segundo miembro:
10x+19=21x-3
Cuarto: aplicamos la regla de la suma y restamos 21x a los dos miembros:
-11x+19=-3
Quinto:despejamos la incógnita.Primero aplico la regla de la suma y resto 19 en los dos miembros:
-11x=-22
después aplicamos la regla del producto y dividimos todo por (-11), quedando:
x=2
Que es la solución a la ecuación equivalente inicial.
martes, 1 de abril de 2014
Medidas de Dispersión
Con el propósito de medir la dispersión o variabilidad, se discutirán en este apartado las medidas de: Amplitud (llamada también rango o recorrido), Desviación media, Varianza, Desviación Estándar (también llamada desviación típica) y Coeficiente de Variación.
Amplitud o recorrido
La medida de dispersión más simple recibe el nombre de Amplitud o recorrido y es muy poco usada puesto que su única ventaja es la sencillez con que se calcula. Es común que se use también el nombre de Rango para esta medida. La amplitud (A) de un conjunto de datos es la diferencia entre las observaciones que tienen el mayor y el menor valor numérico en el mismo.
Por ejemplo: Supóngase que en un hospital el pulso de cada paciente se mide tres veces al día y que cierto día los registros de dos pacientes muestran:
Paciente 1: 73 77 74
Paciente 2: 64 90 73
¿Cuál es la Amplitud en pulsaciones para cada paciente?
Para calcular la amplitud de los datos necesario identificar el valor más grande y el valor más pequeño del conjunto de datos de cada uno de los pacientes.
Para el Paciente 1:
A = 77 - 73 = 4
Para el Paciente 2:
A = 90 - 64 = 26
La amplitud es una medida de dispersión cuya ventaja es la facilidad con que se calcula. Tiene en cambio las siguientes desventajas:
En su cálculo sólo intervienen dos elementos del conjunto.
Al aumentar el número de observaciones, puede esperarse que aumente la variabilidad. Puesto que la amplitud no tiene en cuenta el tamaño del conjunto, no es una medida adecuada para comparar la variabilidad de dos grupos de observaciones, a menos que éstos sean del mismo tamaño.
Desviación media, desviación estándar y varianza
Para presentar la desviación estándar, que es por mucho la medida generalmente más útil de la dispersión, obsérvese que la dispersión de un conjunto de datos es pequeña si los valores se agrupan en forma cerrada en torno a su media y es grande si los valores se dispersan ampliamente en torno a su media. Por tanto, parecería razonable medir la dispersión de un conjunto de datos en términos de las cantidades en las cuales difieren los valores individuales de su media. Si se tiene un conjunto de números:
, las diferencias entre:
Como realmente se está interesado en la magnitud de las desviaciones, y no si son positivas o negativas, se pueden ignorar simplemente los signos y definir una medida de variación en términos de los valores absolutos de las desviaciones de la media. En realidad, si se suman las desviaciones de la media como si fueran todas positivas o cero y las dividiéramos entre N, se obtendría la media estadística que se denomina desviación media y se representa por:
Esta medida tiene una apariencia intuitiva, pero debido al valor absoluto, lleva a encontrar dificultades teóricas en problemas de inferencia y rara vez se usa.
Un método alternativo consiste en trabajar con los cuadrados de las desviaciones de la media, ya que también esto eliminará el efecto de los signos. Los cuadrados de números reales no pueden ser negativos y pueden tomar el valor de cero.
Por consiguiente, si se promedia las desviaciones cuadradas de la media y se toma la raíz cuadrada del resultado (para compensar el hecho de que las desviaciones fuesen cuadradas), se obtiene la Desviación estándar de la población.
) y al expresar literalmente lo que se ha hecho aquí de manera matemática, también se conoce como la raíz de la desviación cuadrada media. A su cuadrado de se le llama Varianza de la población.
sustituidas por N y 
, para la desviación estándar de una muestra; pero, esto no es realmente lo que se hace. En lugar de dividir la suma de las desviaciones entre n, se divide entre (n-1) y se define como desviación estándar de la muestra, que se denota con s como
€Su cuadrado s2, se llama la Varianza de la muestra.
Al dividir entre n-1 en vez de hacerlo entre n, tiene una buena razón. Si se dividiera entre n y se utilizara s2 como estimación de
es decir, se utilizaría la varianza de una muestra para determinar la varianza de la población de la cual provino, el resultado sería demasiado pequeño y esto se corrige al dividir entre n-1 en lugar de hacerlo entre n. Si el valor de n es muy grande no importa hacerlo entre n-1 sino que es práctico para definir s como se hizo.
Razón de cambio
La razón de cambio es el Estudio de funciones matemáticas, Derivadas, Variables independientes, tiempo, Límites, Intervalos e Interpretación intuitiva.
Razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero.
la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo
Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es
Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada
La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la funciónQ=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.
También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así
La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+"x] es el cociente
La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando "x!0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto de x es
Razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero.
RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO
En la vida diaria se determinan razones de cambio de diversas situaciones de tipo
natural, Económico, Social. Situaciones en las que nos interesa conocer cuál es el más
pequeño (mínimo) o más grande (máximo) valor, como aumenta (crece) o disminuye
(decrece) ese valor, en un intervalo de tiempo específico, en general problemas donde
se estudian fenómenos relativos a la variación de una cantidad que depende de otra, por
lo que se hace necesario describir y cuantificar estos cambios a través de modelos
matemáticos, gráficas y tablas.
EJEMPLO
El tiempo total necesario para detener un automóvil después de percibir un peligro, se
compone del tiempo de reacción (tiempo entre el reconocimiento del peligro y la
aplicación del freno). La gráfica 1 muestra las distancias de parada en metros (distancia
que necesita para detenerse totalmente) de un automóvil que viaja a las velocidades
V(m/seg) desde el instante que se observa el peligro. Una compañía que fabrica autos
realiza pruebas con coches manejados a control remoto y para garantizar que estos
tienen distancia promedio de parada aceptables.
RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA
- El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)
- La cantidad de dinero en una cuenta en un banco
- El volumen de un globo mientras se infla
- La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje
- El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento
La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto del cambio "t en t,por lo que es el cociente
Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es
La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la funciónQ=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.
También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así
Q es creciente en el instante t si
Q es decreciente en el instante t si
La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+"x] es el cociente
La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando "x!0, de la razón de cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto de x es
Conclusión Personal
Es un tema con una muy gran variedad de usos entre los que se encuentra las técnicas de triangulación que son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas o en la medición de distancias entre puntos geográficos pero curiosamente este tema es muy antiguo ya que lo usaban los babilonios y egipcios. La trigonometria en un principio era bastante complicada ya que cuando empece a buscar información sobre es tema encontraba un montón de cosas diferentes y complicadas , pero al final descubrí que tan solo era el estudio en las funciones trigonométricas que son : seno, coseno , tangente, cotangente , secante y cosecante. Estas funciones solo sirven en triángulos rectángulos ( triángulos con un angulo de 90 grados) y se aplican en cualquier parte de la matemática donde se necesite precisión. En fin en este tema aprendí algunas cosas sobre la calculadora y se me hizo un poco difícil de entender al final pero siento que me va a ser de gran utilidad.
lunes, 31 de marzo de 2014
Trigonometria
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es 'la medición de los triángulos'. Deriva de los términos griegosτριγωνο trigōno 'triángulo' y μετρον metron 'medida'.
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
ORIGEN DE LA TRIGONOMETRÍA
La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras.
Razones trigonométricas
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo 
, correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa
, correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa
.
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
Representación en un círculo unitario el seno, coseno y la tangente de un ángulo.
Razones trigonométricas inversas
La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón inversa de seno, o también su inverso multiplicativo:
En el esquema su representación geométrica es:
La Secante: (abreviado como sec) es la razón inversa de coseno, o también su inverso multiplicativo:
En el esquema su representación geométrica es:
En el esquema su representación geométrica es:
La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo
:
En el esquema su representación geométrica es:
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés específico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.
En el esquema su representación geométrica es:
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés específico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.
Aplicaciones de las funciones trigonométricas
Caso 1: Cuando se conocen 2 lados
Ejemplo:
Lados
CB=8
CA= 3
AB=8.54
Ángulos
A=69° 27°
C=90°
B=20° 33°
Paso 1: Teorema de Pitagoras
AB = √CB ² + CA²
AB= √ 8²+3²
AB= √64 + 9
AB= √73
AB= 8.54
Paso 2 Sin Cos o Tan
Tan= C.O /C.A
Tan B = 3/8
Tan B= 0.375
Shift Tan 0.375 = Shift GMS ➜ 20° 33°
Paso 3
B + A + C = 180°
B +20°33 + 90° = 180°
B= 180° -90° - 20° 33°
B= 69° 27°
Caso 2: Cuando se conoce un lado y un angulo
A=69° 27°
C=90°
B=20° 33°
Paso 1: Teorema de Pitagoras
AB = √CB ² + CA²
AB= √ 8²+3²
AB= √64 + 9
AB= √73
AB= 8.54
Paso 2 Sin Cos o Tan
Tan= C.O /C.A
Tan B = 3/8
Tan B= 0.375
Shift Tan 0.375 = Shift GMS ➜ 20° 33°
Paso 3
B + A + C = 180°
B +20°33 + 90° = 180°
B= 180° -90° - 20° 33°
B= 69° 27°
Caso 2: Cuando se conoce un lado y un angulo
Lados
CB=21
CA=19
AB= 28
Ángulos
A= 50°
B =40°
C=90°
Paso 1
90° + 40° = 130°
180° - 130°= 50°
Paso 2 Sin Cos o Tan
Sin A = C.O / Hip
Sin 50° = A/28
A/28 = Sin 50°
A = Sin 50° (28)
A = ( 0.7660) (28)
A= 21.44
A= 21
Paso 3 Teorema de Pitagoras
CA = √ AB - CB
CA= √ 28² - 21²
CA = √ 784 - 441
CA= √ 343
CA= 18.520
CA= 19
Conclusión Personal
Es tema es muy simple ya que es algo que he visto con anterioridad desde la primaria que son área y volúmenes y yo creo que ampliar nuestro conocimiento en la geometría nos puede ser muy útil. Los cilindros y conos tienen muchas cosas en común un ejemplo es que la forma de su base que es un circulo, otra cosa es que tienen la misma formula para sacar el área de la base, otra es que en sus formula usan Pi. En este tema aprendí que es una generatriz algo que nunca había escuchado en mi vida pero que es muy útil en las formulas. Tampoco sabia que los cilindros y conos podían tener área lateral y total. En cuanto a los volúmenes sus formulas son muy parecidas y fáciles , la del cilindro es Pi x r2 x h y la del cono es lo mismo solo que dividido entre 3. Pero la única cosa que no entendí de este tema fue por en la formula del cono se divide entre 3 , por que ese numero, pero quitando esto es tema es muy útil por que amplia tu conocimiento en geometría y tal vez te ayude a saber cuanto helado comes.
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