Trigonometria from csg
Trigonometria from Javier
lunes, 31 de marzo de 2014
Trigonometria
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es 'la medición de los triángulos'. Deriva de los términos griegosτριγωνο trigōno 'triángulo' y μετρον metron 'medida'.
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
ORIGEN DE LA TRIGONOMETRÍA
La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras.
Razones trigonométricas
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo 
, correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa
, correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa
.
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,
Representación en un círculo unitario el seno, coseno y la tangente de un ángulo.
Razones trigonométricas inversas
La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón inversa de seno, o también su inverso multiplicativo:
En el esquema su representación geométrica es:
La Secante: (abreviado como sec) es la razón inversa de coseno, o también su inverso multiplicativo:
En el esquema su representación geométrica es:
En el esquema su representación geométrica es:
La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razón inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo
:
En el esquema su representación geométrica es:
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés específico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.
En el esquema su representación geométrica es:
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés específico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.
Aplicaciones de las funciones trigonométricas
Caso 1: Cuando se conocen 2 lados
Ejemplo:
Lados
CB=8
CA= 3
AB=8.54
Ángulos
A=69° 27°
C=90°
B=20° 33°
Paso 1: Teorema de Pitagoras
AB = √CB ² + CA²
AB= √ 8²+3²
AB= √64 + 9
AB= √73
AB= 8.54
Paso 2 Sin Cos o Tan
Tan= C.O /C.A
Tan B = 3/8
Tan B= 0.375
Shift Tan 0.375 = Shift GMS ➜ 20° 33°
Paso 3
B + A + C = 180°
B +20°33 + 90° = 180°
B= 180° -90° - 20° 33°
B= 69° 27°
Caso 2: Cuando se conoce un lado y un angulo
A=69° 27°
C=90°
B=20° 33°
Paso 1: Teorema de Pitagoras
AB = √CB ² + CA²
AB= √ 8²+3²
AB= √64 + 9
AB= √73
AB= 8.54
Paso 2 Sin Cos o Tan
Tan= C.O /C.A
Tan B = 3/8
Tan B= 0.375
Shift Tan 0.375 = Shift GMS ➜ 20° 33°
Paso 3
B + A + C = 180°
B +20°33 + 90° = 180°
B= 180° -90° - 20° 33°
B= 69° 27°
Caso 2: Cuando se conoce un lado y un angulo
Lados
CB=21
CA=19
AB= 28
Ángulos
A= 50°
B =40°
C=90°
Paso 1
90° + 40° = 130°
180° - 130°= 50°
Paso 2 Sin Cos o Tan
Sin A = C.O / Hip
Sin 50° = A/28
A/28 = Sin 50°
A = Sin 50° (28)
A = ( 0.7660) (28)
A= 21.44
A= 21
Paso 3 Teorema de Pitagoras
CA = √ AB - CB
CA= √ 28² - 21²
CA = √ 784 - 441
CA= √ 343
CA= 18.520
CA= 19
Conclusión Personal
Es tema es muy simple ya que es algo que he visto con anterioridad desde la primaria que son área y volúmenes y yo creo que ampliar nuestro conocimiento en la geometría nos puede ser muy útil. Los cilindros y conos tienen muchas cosas en común un ejemplo es que la forma de su base que es un circulo, otra cosa es que tienen la misma formula para sacar el área de la base, otra es que en sus formula usan Pi. En este tema aprendí que es una generatriz algo que nunca había escuchado en mi vida pero que es muy útil en las formulas. Tampoco sabia que los cilindros y conos podían tener área lateral y total. En cuanto a los volúmenes sus formulas son muy parecidas y fáciles , la del cilindro es Pi x r2 x h y la del cono es lo mismo solo que dividido entre 3. Pero la única cosa que no entendí de este tema fue por en la formula del cono se divide entre 3 , por que ese numero, pero quitando esto es tema es muy útil por que amplia tu conocimiento en geometría y tal vez te ayude a saber cuanto helado comes.
Construcción de Cilindros y Conos
¿Qué es un Cilindro?
Un cilindro es una superficie cilíndrica que se forma cuando una recta, llamada generatriz gira alrededor de otra recta paralela, eje. Otra forma de definirlo es el cuerpo que se genera cuando un rectángulo gira alrededor de uno de sus lados
Clasificación
Un cilindro puede ser:
cilindro rectangular: si el eje del cilindro es perpendicular a las bases.
cilindro oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases.
cilindro de revolución: si está limitado por una superficie que gira 360° grados.
Superficie cilíndrica
La superficie cilíndrica está conformada por rectas paralelas, denominadas generatrices, las cuales contienen los puntos de una curva plana, denominada directriz del cilindro. la superficie lateral cilíndrica se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de un eje.Las superficies cilíndricas pueden ser
superficie cilíndrica de revolución: si todas las generatrices equidistan de un eje, paralelo a ella,
superficie cilíndrica de no revolución: si no existe un eje que equidiste de las generatrices.
Área de la superficie cilíndrica
La superficie de un cilindro circular recto está conformada por el área de la base, circular en este caso: A = π r2, pero como este cilindro tiene 2 bases se multiplica por 2, siendo el área total de las dos bases: Ab = 2 π r2
Además, el área lateral está formada por un rectángulo de altura "h" y de largo del perímetro del círculo L = 2 π r por lo que el área lateral es: Al = 2 π r h
Por lo tanto, el área total, o área de la superficie cilíndrica es:
A = Ab + Al
A = 2 π r2 + 2 π r h
A = 2 π ( r2 + r h )
A = 2 π r ( r + h )
El volumen de un cilindro es el producto del área de la base "Ab" por la altura del cilindro "h".El volumen de un cilindro de base circular, es:
V = π r 2·h
siendo la altura del cilindro la distancia entre las bases.
Elementos
Por medio del dibujo de la derecha, es posible determinar los elementos de un cilindro, que son:
Eje: lado AD, alrededor del cual gira el rectángulo.
Bases: son los círculos paralelos y congruentes que se generan al girar los lados AB y CD del rectángulo. Cada uno de estos lados es el radio de su círculo y también, el radio del cilindro.
Altura: corresponde al mismo eje AD; es perpendicular a las bases y llega al centro de ellas. Esta es la razón por la que el cilindro es recto.
Generatriz: es el lado BC, congruente con el lado AD, y que al girar forma la cara lateral o manto del cilindro.
El cilindro tiene 2 caras basales planas, paralelas y congruentes. 1 cara lateral que es curva y 2 aristas basales.
Puedes observar que en el desarrollo en el plano se nos forma un rectángulo para la cara lateral, cuyos lados son el perímetro de la circunferencia que forma las bases y la altura o generatriz.
Qué es un Cono?
Un Cono se forma cuando una recta, generatriz, gira alrededor de otra, eje, con la que se corta en un punto, un triángulo rectángulo cuando gira sobre uno de sus catetos determina un cuerpo geométrico que es el cono.
Elementos del cono:
Eje: el eje de un cono es el cateto fijo sobre el que gira el triángulo.
Base: la base de un cono es el circulo que se forma cuando gira el cateto.
Generatriz: la generatriz es la hipotenusa del triángulo rectángulo en sus distintas posiciones.
Altura: la altura de un cono es la distancia entre la base y el vértice
Clasificación
Cono recto, si el vértice equidista de la base circular
Cono oblicuo, si el vértice no equidista de su base
Cono elíptico, si la base es una elipse. Pueden ser rectos u oblicuos.
La generatriz de un cono es cada uno de los segmentos cuyos extremos son el vértice y un punto de la circunferencia de la base.
La altura de un cono es la distancia del vértice al plano de la base. En los conos rectos será la distancia del vértice al centro de la circunferencia de la base.
Área de la superficie cónica
El área
de la superficie del cono recto es:
donde r es el radio de la base y g la longitud de la generatriz del cono recto.
La generatriz de un cono recto equivale a la hipotenusa del triángulo rectángulo que conforma con la altura del cono y el radio de la base;su longitud es:
.
Volumen de un conoLa generatriz de un cono recto equivale a la hipotenusa del triángulo rectángulo que conforma con la altura del cono y el radio de la base;su longitud es:
.
El volumen 
de un cono de radio 
y altura 
es 1/3 del volumen del cilindro que posee las mismas dimensiones:
de un cono de radio y altura es 1/3 del volumen del cilindro que posee las mismas dimensiones:
sábado, 29 de marzo de 2014
Conclusión Personal
En este tema por fin tuve en claro que era una sucesión por que antes no estaba muy seguro de que era una sucesión , descubrí que una sucesión no necesariamente tienen que ser números también pueden ser letras. Tampoco sabia que las sucesiones podían ser finitas ya que siempre veía sucesiones infinitas , otra cosa que aprendí es que hay una gran variedad de sucesiones, hay sucesiones finitas, infinitas, aritméticas, geométricas, especiales las cuales son los que tienen números triangulares , cuadrados, cúbicos y de Fibonnaci , cada sucesión con una regla especifica . Para encontrar cada una de las reglas de las sucesiones use el método de diferencia que al principio me costo un poco de trabajo encontrar información sobre eso y entenderlo pero con la practica ya no tuve problemas. Este tema es muy útil ya que te permite ver como van avanzando las sucesiones y cual numero es el que sigue , solo usando una formula.
Sucesiones
¿Qué es una sucesión?
Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
Finita o infinita
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita
Ejemplos
{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)
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Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita, si no es una sucesión finita
Ejemplos
{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)
En orden
Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).
Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}
La regla
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:
¡Pero la regla debería ser una fórmula!
Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:
Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:
¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como
La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1
Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201
Notación
Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:
- 10º término,
- 100º término, o
- n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).
Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).
Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:
Probamos la regla: 2n
| n | Término | Prueba |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 2n = 2×1 = 2 |
| 2 | 5 | 2n = 2×2 = 4 |
| 3 | 7 | 2n = 2×3 = 6 |
Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:
Probamos la regla: 2n+1
| n | Término | Regla |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 2n+1 = 2×1 + 1 = 3 |
| 2 | 5 | 2n+1 = 2×2 + 1 = 5 |
| 3 | 7 | 2n+1 = 2×3 + 1 = 7 |
¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como
La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1
Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201
Notación
Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:
| Posición del término | |
 |
Es normal usar xn para los términos:
|
| Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x5 |
xn = 2n+1
Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:
x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21
¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?
Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:
Tipos de sucesiones
Sucesiones aritméticas
El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.
El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.
Ejemplos
Sucesiones geométricas
En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.
| 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... |
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n-2
La regla es xn = 3n-2
| 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ... |
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla es xn = 5n-2
La regla es xn = 5n-2
Sucesiones geométricas
En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.
Ejemplos:
Sucesiones especiales
| 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ... |
Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es xn = 2n
La regla es xn = 2n
| 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ... |
Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n
La regla es xn = 3n
| 4, 2, 1, 0.5, 0.25, ... |
Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.
La regla es xn = 4 × 2-n
La regla es xn = 4 × 2-n
Sucesiones especiales
Números triangulares
Pero es más fácil usar la regla
Ejemplo:
El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.
Números de Fibonacci
El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Por ejemplo el 6º término se calcularía así:
| 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ... |
Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
xn = n(n+1)/2
- El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
- y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21
Números cuadrados
| 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ... |
La regla es xn = n2
Números cúbicos| 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ... |
El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.
La regla es xn = n3
| 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... |
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
La regla es xn = xn-1 + xn-2
Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Por ejemplo el 6º término se calcularía así:
x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
jueves, 20 de marzo de 2014
Conclusión Personal
Este teorema es muy curioso y es la base de la geometría descriptiva ya que es muy usado en la actualidad a pesar de que fue creado por Tales de Mileto cientos de años antes de Cristo.Este teorema de muestra que si a un triangulo se le traza una linea paralela a cualquiera de sus lados se obtienen dos triángulos semejantes.Esto es tan útil que el propio Tales de Mileto lo uso para medir la altura de la gran pirámide egipcia Keops con su teorema. Para mi este tema se me hizo un poco complicado a pesar de ser simple por que al principio no entendía muy bien la formula y los ejercicios se me complicaban pero después de un poco de practica logre aprender el teorema , la razón por la que se complicaba los ejercicios es que no sabia como usar la formula aun que básicamente se usa la regla del tres para resolverlos. Este puede ser un poco complicado a inicio pero después de entenderlo te puede ser muy útil en geometría.
martes, 18 de marzo de 2014
Teorema de Tales
 |
| Tales de Mileto. |
El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos).
Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa).
Primer teorema
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y s
us lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:
 | Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los ladosdel triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC. Lo que se traduce en la fórmula  |
En el triágulo de la derecha, hallar las medidas de los segmentos a yb.
Apicamos la fórmula, y tenemos  |  |
Como vemos, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.
Corolario
Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.
 |
| Una aplicación del Teorema de Tales. |
Por ejemplo, en la figura de la izquierda se observan dos triángulos que, en virtud del Teorema de Tales, son semejantes. Entonces, como corolario, el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande.
En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se cumple que:
Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; segúnHeródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto.
La leyenda de Tales y las pirámides
Según la leyenda (relatada por Plutarco), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglos antes.
Admirado ante tan portentosos monumentos, quiso saber su altura.
La leyenda dice que solucionó el problema aprovechando la semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos).
 |
Así, estableció una relación de semejanza (Primer teorema de Tales) entre dos triángulos rectángulos, los que se grafican en la figura a la derecha.
Por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (C, conocible) y la longitud de su altura (D, desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) otro cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara (A) y la longitud de su sombra (B). Como en triángulos semejantes, se cumple que
, por lo tanto la altura de la pirámide es 
, con lo cual resolvió el problema.
Otra variante del Teorema de Tales
 | Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si dos rectas cualesquieras (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).  |
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