jueves, 5 de diciembre de 2013
Conclusión Personal
En este tema reuní todos mis conocimientos aprendidos en todo el bloque,ahora ya se como factorizar ecuaciones cuadráticas ya sea binomio o trinomio,logre mejorar en sacar la raíz cuadrada en este bloque ya no dominaba muy bien este tema. Aprendí a factorizar de varias formas, y en mi opinión el caso da factorizacion mas complicado es de factor común,de ahí sigue el de trinomio de segundo grado en segundo lugar,el trinomio cuadrado perfecto de tercero y por ultimo el de diferencia de cuadrados. Aprendí a reducir las ecuaciones para hacerlas mas simples y con menos términos y aprendí como igualar una ecuación a cero que es cambiando los signos de los términos después del = al contrario.Pienso que este tema me va servir mucho en la preparatoria ya que esta es manera de resolver ecuaciones cuadráticas y después de practicarlas ya no tienen mucha dificultad.
Presentación de PowerPoint:Resolución de Ecuaciones Cuadráticas por Factorizacion
Vídeos:Resolución de Ecuaciones Cuadráticas por Factorizacion
Resolución de Ecuaciones Cuadráticas por Factorizacion
http://www.youtube.com/watch?v=dXakJkBRpqM
Casos de Factorizacion:
Factor Comun:
http://www.youtube.com/watch?v=2Wws2Utly40
Trinomio Cuadrado Perfecto
http://www.youtube.com/watch?v=sXNm9C34APU
Trinomio de Segundo Grado
http://www.youtube.com/watch?v=Sqi9Ct-zhHY
Diferencia de Cuadrados
http://www.youtube.com/watch?v=lgWqGDV1qKE
http://www.youtube.com/watch?v=uxXzrhI1N7I
http://www.youtube.com/watch?v=dXakJkBRpqM
Casos de Factorizacion:
Factor Comun:
http://www.youtube.com/watch?v=2Wws2Utly40
Trinomio Cuadrado Perfecto
http://www.youtube.com/watch?v=sXNm9C34APU
Trinomio de Segundo Grado
http://www.youtube.com/watch?v=Sqi9Ct-zhHY
Diferencia de Cuadrados
http://www.youtube.com/watch?v=lgWqGDV1qKE
http://www.youtube.com/watch?v=uxXzrhI1N7I
Resolución de Ecuaciones Cuadráticas por Factorizacion
Resolución de Ecuaciones Cuadráticas por Factorizacion
Como ya vimos varios casos de factorizacion les enseñare como resolver ecuaciones cuadráticas y cual caso de factorizacion es mas conveniente dependiendo de la ecuación:
Factor Común:
Este caso sirve para binomios y polinomios y se caracteriza por que no se necesita sacar raíz cuadrada , todos tienen algo en común sino no es factor común.
Termino Termino Termino
Cuadrático Lineal Independiente
m² -4m-5 = 0
Como ya vimos varios casos de factorizacion les enseñare como resolver ecuaciones cuadráticas y cual caso de factorizacion es mas conveniente dependiendo de la ecuación:
Factor Común:
Este caso sirve para binomios y polinomios y se caracteriza por que no se necesita sacar raíz cuadrada , todos tienen algo en común sino no es factor común.
10x²+5xy-20x
Trinomio Cuadrado Perfecto
Este caso solo sirve para trinomios exclusivamente y se caracteriza porque tiene raíz cuadrada el primero y tercero termino si esta ordenada la ecuación y al multiplicar por 2 las raíces de esos términos nos da el segundo termino.
9a²-6ab+b²
Trinomio de Segundo Grado
Este caso como el anterior solo sirve con trinomios y es fácil de identificar por que tiene un termino cuadrático,un termino lineal y un termino independiente,
m² -4m - 5 = Termino Termino Termino
Cuadrático Lineal Independiente
Diferencias de cuadrados:
Este caso es el mas de identificar ya que solo sirve únicamente con binomios y se caracteriza por que los términos de la ecuación siempre tendrán raíz cuadrada,el segundo termino debe ser negativo y al factorizar obtendrás binomios conjugados.
81m²-100
Para resolver una ecuación cuadrática por factoricacion deberás igualar los factores cero y así obtendremos los dos respuestas de la ecuación
Ejemplo:
m² -4m-5 = 0
(m+1)(m-5)
√m² =m
(1-5)=-4
(1)(-5)=-5
(1-5)=-4
(1)(-5)=-5
m+1=0
m=0-1
m=-1
(-1)²-4(-1)-5=0
1+4-5=0
m-5=0
m=0+5
m=5
(5)²-4(5)-5=0
25-20-5=0
miércoles, 4 de diciembre de 2013
Conclusión Personal
En este tema el ultimo caso de factorizacion aprendí que es un binomio conjugado(un termino en común y términos simétricos)y que es un termino simétrico(son términos que son exactamente iguales solo que tienen signo diferente) y no tuve ninguna dificultad en comprender como se factorizaba. Aprendí que este tipo siempre tendrá dos términos y los dos tendrán raíz cuadrada exacta.Los pasos para factorizar fueron muy fáciles ya solo había que sacar raíz cuadrada cosa que ya había practicado con anterioridad en los otros casos.Este caso de factorizacion es el mas fácil de todos para mi ya que es fácil de identificar y de resolver tan solo sacando raíz cuadrada y lo único malo que vi es casi no se usa mucho este tipo de factorizacion ya que solo se puede usar cuando cumple sus características.
Factorizacion de Diferencia de Cuadrados
Factorizacion de Diferencia de Cuadrados
Características:
√81m²=9m
Características:
- Siempre serán dos términos y el segundo debe ser negativo
- Los dos términos deben tener raíz cuadrada exacta
Pasos para factorizar Diferencia de Cuadrados
Siempre que factorizemos una diferencia de cuadrados obtendremos binomios conjugados.
Los binomios conjugados se forman de un termino común y dos términos simétricos es decir uno positivo y uno negativo.
Para realizar la factorizacion se hace lo siguiente:
Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos,el que tiene signo positivo nos dará el termino común, y el que tiene el signo negativo nos dará de resultado los términos simétricos
Ejemplo:
81m²-100= (9m-10)(9m+10)=81m²-90m+90m-100=81m²-100
Diferencia de Binomios
Cuadrados Conjugados
√100=10
Conclusión Personal
En este tema aprendí que era un termino cuadrático(el que tiene una incógnita con exponente al cuadrado) un termino lineal(el que solo tiene la incógnita)y un termino independiente(solo es un numero sin exponente o incógnita) y no tuve ninguna dificultad en entender los paso para poder factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto.El primer paso era sacar la raíz del termino cuadrático y no tuve ningún problema ya que había practicado en el tema anterior.En el segundo paso y tercero se me complico un poco como sacar los números ya que tenían que coincidir los números , así que se me ocurrió siempre checar que números me pueden dar el termino independiente y el que coincidiera con el lineal era el el correcto.De todos los casos de factorizacion este es el segundo que se me ha echo mas difícil.
Factorizacion de Trinomios de Segundo Grado
Trinomios de Segundo Grado
Características:
Pasos para factorizar Trinomios de Segundo Grado
Al factorizar un Trinomio de Segundo Grado obtenemos,binomios con termino en común,los pasos a seguir para factorizar este trinomio son los siguientes:
1.-Sacar raíz cuadrada del termino cuadrático
2.-Buscar números que sumados algebraicamente nos de el coeficiente del termino lineal.
3.-Estos mismos números pero multiplicados nos deben dar el termino independiente.
Ejemplo: m²-4m- 5=
m² -4m - 5 = (m+1)(m-5) = m²-5m+1m-5=m²-4m- 5
Termino Termino Termino Binomios con
Cuadrático Lineal Independiente termino común
1.-√m² =m
Características:
- Siempre serán tres términos
- Siempre hay un termino cuadrático,lineal y independiente
Pasos para factorizar Trinomios de Segundo Grado
Al factorizar un Trinomio de Segundo Grado obtenemos,binomios con termino en común,los pasos a seguir para factorizar este trinomio son los siguientes:
1.-Sacar raíz cuadrada del termino cuadrático
2.-Buscar números que sumados algebraicamente nos de el coeficiente del termino lineal.
3.-Estos mismos números pero multiplicados nos deben dar el termino independiente.
Ejemplo: m²-4m- 5=
m² -4m - 5 = (m+1)(m-5) = m²-5m+1m-5=m²-4m- 5
Termino Termino Termino Binomios con
Cuadrático Lineal Independiente termino común
1.-√m² =m
2.-(1-5)=-4
3.-(1)(-5)=-5
Conclusión Personal
En este tema no tuve ninguna dificultad ya que sabia que era factorizar(descomponer una ecuación) y los pasos no eran nada complicados.No tuve ninguna duda en saber si era Trinomio Cuadrado Perfecto(T.C.P) por era sabia que siempre tienen tres términos,tiene dos raíces cuadradas el primer y ultimo termino, y por si quedaba alguna duda multiplicaba por 2 y me daba el segundo termino.Al factorizar ponías las raíces de los términos y la segunda raíz tenia el signo del segundo termino y se pone al cuadrado.Este tema me sirvió para practicar como sacar las raíces de de los números y de los exponentes y ahora me se algunas raíces de memoria y esto me serviría para para los siguientes casos de factorizacion: Trinomio de Segundo Grado y Diferencia de Cuadrados en donde se saca raíz cuadrada.
martes, 3 de diciembre de 2013
Factorizacion de Trinomio Cuadrado Perfecto
Factorizacion de Trinomio Cuadrado Perfecto
Para factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto es necesario cumplir con las siguientes condiciones:
1.-Tener 3 términos
2.-Dos términos con raíz cuadrada exacta
3.-Las dos raíces obtenidas al multiplicarse por 2 nos debe dar el termino que no tiene raíz cuadrada exacta.
Si es así entonces es un Trinomio Cuadrado Perfecto(T.C.P)
Para factorizarlo se toma las 2 raíces que serán los términos que formen el binomio separados por el signo del segundo termino(si esta ordenado correctamente).
Siempre al factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto obtenemos un binomio al cuadrado.
Ejemplo:
9a²-6ab+b²=(3a-b)²=(3a-b)(3a-b)=9a²-3ab-3ab+b²=9a²-6ab+b²
√9a²=3a
√b²=b
(3a)(2)(b)=6ab
Para factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto es necesario cumplir con las siguientes condiciones:
1.-Tener 3 términos
2.-Dos términos con raíz cuadrada exacta
3.-Las dos raíces obtenidas al multiplicarse por 2 nos debe dar el termino que no tiene raíz cuadrada exacta.
Si es así entonces es un Trinomio Cuadrado Perfecto(T.C.P)
Para factorizarlo se toma las 2 raíces que serán los términos que formen el binomio separados por el signo del segundo termino(si esta ordenado correctamente).
Siempre al factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto obtenemos un binomio al cuadrado.
Ejemplo:
9a²-6ab+b²=(3a-b)²=(3a-b)(3a-b)=9a²-3ab-3ab+b²=9a²-6ab+b²
√9a²=3a
√b²=b
(3a)(2)(b)=6ab
Conclusión Personal
En este tema tuve un poco de dificultad en comprender lo por que no sabia muy bien que era factorizar ( descomponer una expresión algebraica)pero después lo comprendí.El primer paso era sacar el máximo común divisor en el cual no tuve ya que era parecido a algo que ya había visto el mínimo común múltiplo.El segundo paso ha veces tenia dudas de cual era la incógnita en común pero después ya no porque aprendí que era la incógnita que tenían todos y el mínimo exponente de cada letra.El tercer paso fue fácil ya que sabia como dividir con o sin incógnita.Y mi ultima dudo era cuando podía igualar los resultados a cero y al ver varios ejercicios me di cuenta que solo se puede igualar cuando haya una sola incógnita y no haya exponentes. Después de esto ya no tuve ninguna duda al factorizar por factor común.
lunes, 2 de diciembre de 2013
Factorizacion por Factor Comun
Factorizacion por Factor Común
Para factorizar polinomios hay varios métodos:
Por factor común,para resolver por factor común una ecuación cuadrática es importante hacer lo siguiente:
Pasos para Factorizar por Factor Común
Ejemplo: 10x²+5xy-20x
1.-Sacar el máximo común divisor
10,5,20 I 2X
5 ,5 ,10l 2X
5 ,5,5 I 5
M.C.D=5
2.-Escoger la literal que tiene menor exponente y que se encuentra en todos los términos,formando así el factor común.
(5x)
3.-Dividir cada uno de los términos entre el factor común y así obtener el segundo factor.
10x²/5x=2x
5xy/5x=y
-20x/5x=-4
SEGUNDO FACTOR=(2x+y-4)
Respuesta:
10x²+5xy-20x=(5x)(2x+y-4)=10x²+5xy-20x
Conclusión Personal
En este tema aprendí a reducir la ecuaciones para hacer las mas fáciles las ecuaciones y que no se vean tan complicadas.Primero se quitan los paréntesis lo cual se me hizo un poco complicado ya que a veces confundía signos. Después se igualan los signos lo cual también fue un poco complicado ya que me revolvía con los signos(a veces se me olvida cambiar algunos).Luego seguía ordenarlos en eso no tuve ninguna complicación ya que eran primero los que tenían exponentes,luego los que tenían letra y por ultimo los números.Y al final solo era restar o sumar que era muy fácil y quedaba reducido.Por este tema recordé la ley de los signos y las practique y ahora ya no tengo ningún problema con reducir las expresiones ni con la ley de los signos(al multiplicar signos diferentes es signo menos(-)y si son iguales es signo mas (+)).
sábado, 30 de noviembre de 2013
Reduccion de la expresiones algebraicas a su misma expresion
Reducción de expresiones algebraicas
Términos semejantes
En muchas ecuaciones tenemos términos que son semejantes, es decir, que poseen el mismo factor literal y muchas también poseen constantes, términos que no tienen una variable y que también son considerados semejantes entre ellos.
Una expresión algebraica estará en su forma reducida si no posee términos semejantes ni paréntesis.
Veamos algunos ejemplos:
Algo que debes considerar al reducir términos semejantes son las propiedades de las operaciones, tanto de la suma como de la multiplicación.
Observemos un ejemplo:
Paréntesis
Para reducir expresiones algebraicas debemos partir por los paréntesis si es que los hay.Veamos el siguiente ejemplo:
Luego de los paréntesis, debemos resolver las multiplicaciones y divisiones y por último las sumas y restas.
Una expresión algebraica estará en su forma reducida si no posee términos semejantes ni paréntesis.
Veamos algunos ejemplos:
Algo que debes considerar al reducir términos semejantes son las propiedades de las operaciones, tanto de la suma como de la multiplicación.
Observemos un ejemplo:
Paréntesis
Para reducir expresiones algebraicas debemos partir por los paréntesis si es que los hay.Veamos el siguiente ejemplo:
Conclusion Personal
Para mi la estadística es una forma de ordenar muchos datos para saber como han ido cambiando todos los resultados.En este tema aprendí que la estadística tenia conceptos cosa que no sabia,los cuales son población(todos los resultados),muestra(una parte de todos los resultados) y individuo (un resultado).Aprendí que es una variable estadística( todo lo que podemos saber de un solo resultado) y que hay varios tipos de esta.Y ahora se que hay varias formas de graficar mis resultados y cual es mejor deprendiendo de el problema que maneje.Por ejemplo el de barras sirve para ver como es la diferencia un numero de resultados a otro,que el de sectores sirve mas para sacar el porcentaje de cada resultado y que el histograma se usa cuando nuestros resultados vienen en intervalos.En este tema no tuve ninguna dificultad en comprender lo pero se me hacia un poco complicado ordenar todos los resultados. 
jueves, 28 de noviembre de 2013
lunes, 21 de octubre de 2013
Estadística
Estadística
Definición de Estadística
La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.
Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:
-Recogida de datos.
-Organización y representación de datos.
-Análisis de datos.
-Obtención de conclusiones.
Conceptos de Estadística
Población
Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico.
Ejemplo: Conjunto de todos los alumnos de secundaria de la Comunidad de Madrid.
Muestra
Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población.
Ejemplo: De entre todos los alumnos de secundaria de la Comunidad de Madrid escogemos los de Humanes.
Definición de Estadística
La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.
Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:
-Recogida de datos.
-Organización y representación de datos.
-Análisis de datos.
-Obtención de conclusiones.
Conceptos de Estadística
Población
Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico.
Ejemplo: Conjunto de todos los alumnos de secundaria de la Comunidad de Madrid.
Muestra
Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población.
Ejemplo: De entre todos los alumnos de secundaria de la Comunidad de Madrid escogemos los de Humanes.
Individuo
Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población.
Ejemplo: Cada uno de los alumnos de secundaria de la Comunidad de Madrid. 
Variable estadística
Definición de variable
Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que podemos estudiar en los individuos de una población.
Tipos de variable estadísticas
Variable cualitativa
Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos:
Variable cualitativa nominal
Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden. Por ejemplo:
El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.
Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa
Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no númericas, en las que existe un orden. Por ejemplo:
La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.
Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1º, 2º, 3º, ...
Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.
Variable cuantitativa
Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:
Variable discreta
Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es
decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Por
ejemplo:
El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.
Variable continua
Una variable continua es aquella que, al menos teóricamente, puede admitir infinitos valores entre dos números dados. Por ejemplo:
La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.
En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales, cuatro, etc.
Recuento y gráficos
Es parte del proceso, después de recopilar los datos se procede a su recuento para expresarlos de forma ordenada y para que sea más fácil trabajar con ellos.
Generalmente se elabora una tabla como se muestra a la izquierda donde puedes practicar.
• Frecuencia absoluta, es el nº de veces que aparece un dato. A la de xi la llamaremos fi.
Ejemplo
Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.
En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor y en la segunda anotamos la frecuencia absoluta.
| xi | fi |
|---|---|
| 27 | 1 |
| 28 | 2 |
| 29 | 6 |
| 30 | 7 |
| 31 | 8 |
| 32 | 3 |
| 33 | 3 |
| 34 | 1 |
| 31 |
• Frecuencia relativa, es el cociente entre la frecuencia absoluta y el nº total de datos.
Ejemplo
Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.
| xi | fi | ni |
|---|---|---|
| 27 | 1 | 0.032 |
| 28 | 2 | 0.065 |
| 29 | 6 | 0.194 |
| 30 | 7 | 0.226 |
| 31 | 8 | 0.258 |
| 32 | 3 | 0.097 |
| 33 | 3 | 0.097 |
| 34 | 1 | 0.032 |
| 31 | 1 |
• Frecuencia acumulada de un dato, es la suma de las frecuencias absolutas de los valores que
son menores o iguales que él, la indicaremos con Fi. También se pueden calcular las
frecuencias relativas acumuladas.
Ejemplo
Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas:32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.
| xi | fi | Fi |
|---|---|---|
| 27 | 1 | 1 |
| 28 | 2 | 3 |
| 29 | 6 | 9 |
| 30 | 7 | 16 |
| 31 | 8 | 24 |
| 32 | 3 | 27 |
| 33 | 3 | 30 |
| 34 | 1 | 31 |
| 31 |
Diagramas de barras y de sectores
Los datos estadísticos suelen representarse de forma gráfica, ya que de esta forma podemos hacernos una
idea de su distribución de un solo golpe de vista. En función del tipo de variable conviene más usar un tipo de gráfico u otro.
• Diagrama de sectores, puede aplicarse a cualquier tipo de variable, aunque es el más
adecuado en variables cualitativas y para una primera toma de contacto con los valores de
una población. Es un círculo dividido en sectores de ángulo proporcional a la frecuencia de cada valor.
La amplitud de cada sector se obtiene multiplicando la frecuencia relativa por 360º.
• Diagrama de barras. También puede aplicarse a cualquier tipo de variable, aunque
se considera el idóneo para variables discretas. Cada valor se corresponde con una barra de longitud proporcional a su frecuencia.
Agrupación de datos en intervalos
En variables continuas, o en discretas cuanto el número de datos distintos se hace casi tan grande
como el número de datos, y para poder estudiarlos, se hace necesario agruparlos en intervalos o clases,
habitualmente de la misma amplitud y como mínimo cuatro.
Por ejemplo, en una población hay casi tantas alturas como individuos pero podemos agruparlos en bajos,
medios y altos; también podríamos hacer bajos, medios-bajos, medios-altos y altos, o clasificarlos de
10 en 10 cm, o de 20 en 20...
• Para representar a todos los datos de un intervalo elegimos un valor, el punto medio del
intervalo, se llama marca de clase.
Histograma
Cuando los datos vienen agrupados en intervalos se usa para representarlos gráficamente el histograma. Cada valor se representa con un rectángulo de anchura el intervalo correspondiente y con la altura
proporcional a su frecuencia.
Polígono de frecuencias.
Lo creamos al unir los extremos superiores de las
barras de los histogramas o de los diagramas de barras.
Medidas de dispersión.
Rango y Desviación media
Las medidas de dispersión indican si los datos están más o menos agrupados respecto de las medidas de
centralización.
• Rango o recorrido, es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable, indica la longitud del intervalo en el que se hallan todos los datos. Aunque el rango da una información importante,
resulta más interesante calcular cuánto se desvían en promedio los datos de la media.
• Desviación media, es la media de los valores absolutos de las diferencias entre la media y los diferentes datos.
miércoles, 9 de octubre de 2013
Conclusión Personal
En mi opinión este tema tiene muchos conceptos pero son fáciles de entender y aprender como los tipos de sucesos,los tipos de experimentos, el espacio muestral y otras cosas.Este tema me va a servir como en una situación pueda ver todas mis opciones y la probabilidad que sucedan o no.
martes, 8 de octubre de 2013
Probabilidad
La probabilidad es un método mediante el cual se obtiene la frecuencia de un suceso determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.
Teoría de probabilidades
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.
Experimentos deterministas
Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.
Ejemplo
Teoría de probabilidades
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.
Tipos de Experimentos
Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.
Ejemplo
Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la pelota bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.
Experimentos aleatorios
Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.
Ejemplos
Si lanzamos una moneda no sabemos de ante mano si saldrá cara o cruz.
Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.
Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.
Ejemplos
Si lanzamos una moneda no sabemos de ante mano si saldrá cara o cruz.
Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.
Experimentos compuestos
Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples. Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto. En los experimentos compuestos es conveniente usar el llamado diagrama en árbol para hacerse una idea global de todos ellos.
Suceso y Espacio Muestral
Suceso
Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.
Al lanzar una moneda, que salga cara es un suceso
Al lanzar un dado, que se obtenga 4 es un suceso.
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia
aleatoria, lo representaremos por E
Espacio muestral de una moneda:
E = {C, X}.
Espacio muestral de un dado:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Tipos de Sucesos
Suceso aleatorio
Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener
múltiplo de 3, y otro, sacar 5.
Ejemplo
Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:
1. El espacio muestral.
E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}
2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.
B = {(b,b,b); (n, n,n)}
3. El suceso A = {extraer al menos una bola blanca}.
B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}
4. El suceso A = {extraer una sola bola negra}
A = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}
Sucesos independientes
Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.
Al lazar dos dados los resultados son independientes.
Sucesos dependientes
Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que
suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.
Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos
dependientes.
Unión y Intersección de sucesos
Unión de sucesos
La unión de sucesos, A U B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.
Es decir, el suceso A U B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B,
o ambos.
A UB se lee como "A o B".
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A U B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A U B = {2, 3, 4, 6}
Intersección de sucesos
La intersección de sucesos, A ∩ B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.
Es decir, el suceso A ∩ B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y
B.
A ∩ B se lee como "A y B".
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A ∩ B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A ∩ B = {3}
Regla de Laplace
Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:
Ejemplos
Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos
caras.
Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}.
Casos favorables: 1.
P(2 caras)=1/4
Probabilidad de la unión de sucesos
Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles
A ∩ B = Ø
p(A U B) = p(A) + p(B)
Calcular la probabilidad de obtener un 2 ó un 5 al lanzar un dado.
P(2U5)=1/6 + 1/6= 2/6= 1/3
Probabilidad de la unión de sucesos compatibles
A ∩ B ≠ Ø
p(A U B) = p(A) + p(B) − p(A∩ B)
Calcular la probabilidad de obtener un múltiplo de 2 ó un 6 al lanzar un
dado.
P(2U6)= 3/6 + 1/6 - 1/6= 3/6 = 1/2
Diagramas de árbol
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad. En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento ( nudo final).
Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.
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