Resolución de ecuaciones cuadráticas por la formula general

Resolución de ecuaciones cuadráticas por la formula general

La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:donde el símbolo "±" indica que los dos valores son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental.

         y
.

Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):podremos saber el número y naturaleza de las soluciones:



Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje x);
Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje x);
Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se cruzan).

Un ejemplo de ellos son:

Ejemplo:

X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

x = -2 ± 6
          2

X =  -2 + 6     x = -2 - 6
           2                  2
 

   x = 4          x = -8
        2                  2

x = 2      x = - 4 

Casos especiales.

Es posible que no existan soluciones en el conjunto de los números reales. Esto sucede cuando es negativo. En ese caso no es un número real, porque ya se sabe que todo número real elevado al cuadrado, es positivo. (Radicación)

Por ejemplo, en la ecuación , se tiene:





La fórmula en este caso da lo siguiente:

 Como no es un número real, la ecuación no tiene soluciones reales.

2) Es posible que exista una única solución. Esto ocurre cuando en ese caso,




Por ejemplo:




aplicando la fórmula, se obtiene:

,

pero y así sólo queda




Las soluciones y de la ecuación cuadrática se llaman también raíces de la ecuación.

Cuando y existen y son diferentes, como en el caso en que , se dice que y son raíces simples.

Cuando , se dice que es una raíz doble. Es el caso en que .

Ya se vio que, en el caso en que no hay raíces reales. Es por esto que el número tiene mucha importancia en la solución de ecuaciones cuadráticas. Se llama el discriminante de la ecuación.